函数定义域的类型和求法

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足



由①解得 或。 ③

由②解得 或 ④

③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为。


例2 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 ③

由②解得 ④

由③和④求公共部分，得




故函数的定义域为

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知的定义域，求的定义域。

其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。

例3

[/size][size=3]已知的定义域为［－[/size][size=3]2[/size][size=3]，[/size][size=3]2[/size][size=3]］，求的定义域。[/size]

解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。

[size=3]（[/size][size=3]2[/size][size=3]）已知的定义域，求[/size][size=3]f(x)[/size][size=3]的定义域。[/size]

[size=3]其解法是：已知

的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。


例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为。

即函数f(x)的定义域是。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知。

生前何必久睡,死后自会长眠……